Teoria de Adensamento Unidimensional de Terzaghi

A teoria que discutimos aqui remonta aos anos 1920, quando o célebre engenheiro austríaco Karl von Terzaghi publicou os primeiros resultados de sua pesquisa com adensamento de solos finos e saturados sob carregamento.

Uma teoria de adensamento tridimensional seria altamente complexa devido ao caráter heterogêneo de uma massa de solo. Sendo assim, supomos que a compressão e o fluxo de água são ambos unidimensionais. Incluímos ainda outras hipóteses simplificadoras importantes, quais sejam:

O solo é homogêneo.
O solo é saturado.
A lei de Darcy é válida para o solo.
As partículas de solo e a água dos vazios são incompressíveis.

Buscamos descrever a taxa de adensamento de um elemento de solo com espessura infinitesimal dz e seção dA = dxdy (Figura 1). O elemento recebe um fluxo de água v_zdA, onde v_z é a velocidade da água, ou seja:

$\displaystyle {{q}_{{in}}}={{v}_{z}}dxdy\,\,\,(1)$

O fluxo para fora do elemento, por sua vez, é:

$\displaystyle {{q}_{{out}}}=\left( {{{v}_{z}}+\frac{{\partial {{v}_{z}}}}{{\partial z}}dz} \right)dxdy\,\,\,(2)$

Figura 1. Elemento de solo.

Supondo que o solo é completamente saturado e as partículas de solo e água são incompressíveis, a lei de conservação da matéria exige que a diferença de fluxos seja igual à taxa temporal de variação do volume V do elemento. Matematicamente:

$\displaystyle {{q}_{{out}}}-{{q}_{{in}}}=\frac{{\partial V}}{{\partial t}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{\partial V}}{{\partial t}}=\frac{{\partial {{v}_{z}}}}{{\partial z}}dxdydz\,\,\,(3)$

Mas o volume V é dado por:

$\displaystyle V={{V}_{s}}\left( {1+{{e}_{0}}} \right)=dxdydz\,\,\,(4)$

Onde V_s é o volume de sólidos e e₀ é o índice de vazios inicial. Ademais, a variação temporal de volume pode ser exprimida em termos da variação do índice de vazios:

$\displaystyle \frac{{\partial V}}{{\partial t}}={{V}_{s}}\frac{{\partial e}}{{\partial t}}\,\,\,(5)$

Juntando (4) e (5):

$\displaystyle {{V}_{s}}=\frac{{dxdydz}}{{1+{{e}_{0}}}}$ ,

$\displaystyle \therefore \frac{{\partial V}}{{\partial t}}=\frac{{dxdydz}}{{1+{{e}_{0}}}}\frac{{\partial e}}{{\partial t}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{dxdydz}}{{1+{{e}_{0}}}}\frac{{\partial e}}{{\partial t}}=\frac{{\partial {{v}_{z}}}}{{\partial z}}dxdydz$

$\displaystyle \therefore \frac{{\partial e}}{{\partial t}}=\left( {1+{{e}_{0}}} \right)\frac{{\partial {{v}_{z}}}}{{\partial z}}\,\,\,(6)$

Mas, pela lei de Darcy, a velocidade v_z é dada por:

$\displaystyle {{v}_{z}}=\frac{k}{{{{\gamma }_{w}}}}\frac{{\partial {{u}_{w}}}}{{\partial z}}\,\,\,(7)$

onde k é o coeficiente de permeabilidade do solo, $\displaystyle {{\gamma }_{w}}$ $\displaystyle \approx$ 9.81 kN/m³ é o peso específico da água e u_w é a poro pressão. Diferenciando em relação a z, vem:

$\displaystyle \frac{{\partial {{v}_{z}}}}{{\partial z}}=\frac{k}{{{{\gamma }_{w}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{w}}}}{{\partial {{z}^{2}}}}\,\,\,(8)$

Substituindo em (6):

$\displaystyle \frac{{\partial e}}{{\partial t}}=\left( {1+{{e}_{0}}} \right)\frac{{\partial {{v}_{z}}}}{{\partial z}}=\frac{{\left( {1+{{e}_{0}}} \right)k}}{{{{\gamma }_{w}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{w}}}}{{\partial {{z}^{2}}}}\,\,\,(9)$

Mas $\displaystyle \partial$ e = a_v $\displaystyle \partial$ u_w, onde a_v é o coeficiente de compressibilidade, ou seja:

$\displaystyle \frac{{\partial e}}{{\partial t}}={{a}_{v}}\frac{{\partial {{u}_{w}}}}{{\partial t}}\,\,\,(10)$

Substituindo em (9), temos:

$\displaystyle \frac{{\partial e}}{{\partial t}}={{a}_{v}}\frac{{\partial {{u}_{w}}}}{{\partial t}}=\frac{{\left( {1+{{e}_{0}}} \right)k}}{{{{\gamma }_{w}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{w}}}}{{\partial {{z}^{2}}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{\partial {{u}_{w}}}}{{\partial t}}=\frac{{\left( {1+{{e}_{0}}} \right)k}}{{{{a}_{v}}{{\gamma }_{w}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{w}}}}{{\partial {{z}^{2}}}}\,\,\,(11)$

Essa é a equação de adensamento unidimensional derivada por Terzaghi. Matematicamente, (11) é uma equação diferencial parcial parabólica. É comum condensar o fator multiplicativo no lado direito em um único parâmetro c_v, conhecido como coeficiente de adensamento:

$\displaystyle {{c}_{v}}=\frac{{k\left( {1+{{e}_{0}}} \right)}}{{{{a}_{v}}{{\gamma }_{w}}}}\,\,\,(12)$

de modo que a equação pode ser reescrita como:

$\displaystyle \frac{{\partial {{u}_{w}}}}{{\partial t}}={{c}_{v}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{w}}}}{{\partial {{z}^{2}}}}\,\,\,(13)$

Um último parâmetro que por vezes aparece na literatura é o coeficiente de compressibilidade volumétrica m_v, que é simplesmente igual ao coeficiente de compressibilidade a_v dividido por 1 + e₀:

$\displaystyle {{m}_{v}}=\frac{{{{a}_{v}}}}{{1+{{e}_{0}}}}\,\,\,(14)$

Substituindo em (12), temos:

$\displaystyle {{c}_{v}}=\frac{{k\left( {1+{{e}_{0}}} \right)}}{{{{a}_{v}}{{\gamma }_{w}}}}=\frac{k}{{{{m}_{v}}{{\gamma }_{w}}}}\,\,\,(15)$

Ou seja, o coeficiente de adensamento é igual à condutividade hidráulica do solo dividida pelo produto entre o coeficiente de compressibilidade volumétrica e o peso específico da água.

Como qualquer equação diferencial parcial, a solução da equação de Terzaghi exige a especificação de condições de contorno e uma condição inicial. Para facilitar a formulação do problema, seja H_dr a distância de drenagem da camada de solo. Consideramos duas possibilidades: (1) uma camada de solo com drenagem simples (Figura 2a); e (2) uma camada de solo duplamente drenada (Figura 2b).

Figura 2. Elementos de solo com (a) drenagem simples e (b) drenagem dupla.

Para uma camada de solo com drenagem simples, a distância de drenagem é igual à espessura da camada de solo, isto é, H_dr = H, e as condições de contorno são:

Poro pressão em excesso igual a zero: u(z = 0,t) = 0
Fluxo zero através da camada limite: $\displaystyle \partial$ u(z = H, t)/ $\displaystyle \partial$ z = 0

A condição inicial é u(z,t = 0) = $\displaystyle \Delta$ $\displaystyle {{\sigma }_{z}}$ , para todo z $\displaystyle \in$ (0; H) em t = 0.

Para uma camada de solo duplamente drenada, a distância de drenagem é igual a metade da espessura da camada de solo, isto é, H_dr = H/2, e as condições de contorno são:

Poro pressão em excesso igual a zero no topo: u(z = 0, t) = 0
Poro pressão em excesso igual a zero no fundo: u(z = H, t) = 0

A condição inicial é u(z,t = 0) = $\displaystyle \Delta$ $\displaystyle {{\sigma }_{z}}$ , para todo z $\displaystyle \in$ (0; H) em t = 0.

A solução da equação de Terzaghi pode ser obtida por separação de variáveis. O resultado é:

onde

$\displaystyle {{M}_{n}}=\left( {n+\frac{1}{2}} \right)\pi \,\,\,;\,\,\,n=0,1,2, etc\,\,\,(17)$

e T_v é o chamado fator tempo:

$\displaystyle {{T}_{v}}=\frac{{{{c}_{v}}t}}{{{{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}}^{2}}}}\,\,\,(18)$

Definimos em seguida o grau de adensamento U_z(z,t), que é dado por:

$\displaystyle {{U}_{z}}\left( {z,t} \right)=\left[ {1-\frac{{u\left( {z,t} \right)}}{{u\left( {z,t=0} \right)}}} \right]\times 100\%\,\,\,(19)$

Substituindo u(z,t) e observando que u(z,0) = $\displaystyle \Delta$ $\displaystyle {{\sigma }_{z}}$ , obtemos o seguinte resultado:

O grau médio de adensamento $\displaystyle {{\bar{U}}_{z}}$ é obtido se integrarmos o grau de adensamento de z = 0 até z = H_dr (altura de drenagem) e dividirmos o resultado por H_dr:

$\displaystyle {{\bar{U}}_{z}}=\frac{1}{{{{H}_{{\text{dr}}}}}}\int_{0}^{{{{H}_{{\text{dr}}}}}}{{{{U}_{z}}\left( {z,t} \right)dz}}\,\,\,(21)$

ou:

onde M_n e T_v são definidos por (17) e (18), como de praxe. O grau médio de adensamento é frequentemente escrito como uma porcentagem. A Figura 3 mostra a relação entre T_v e $\displaystyle {{\bar{U}}_{z}}$ .

Figura 3. Relação entre fator tempo e grau médio de adensamento.

Duas aproximações são frequentemente utilizadas para computar o fator tempo. A primeira delas é válida para $\displaystyle {{\bar{U}}_{z}}$ < 60% (ou seja, graus médios de adensamento menores que 60%):

$\displaystyle {{T}_{v}}=\frac{\pi }{4}{{\left( {\frac{{{{{\bar{U}}}_{z}}\%}}{{100}}} \right)}^{2}}\,\,\,(23)$

A segunda é válida para $\displaystyle {{\bar{U}}_{z}}$ > 60%:

$\displaystyle {{T}_{v}}=1.781-0.933{{\log }_{{10}}}\left( {100-{{{\bar{U}}}_{z}}\%} \right)\,\,\,(24)$

A Tabela 1 quantifica a precisão da equação (23) como uma estimativa de T_v. A primeira coluna mostra um dado valor de $\displaystyle {{\bar{U}}_{z}}$ ; a segunda coluna mostra o valor aproximado de T_v obtido com a equação (23); a terceira coluna lista o valor correspondente de $\displaystyle {{\bar{U}}_{z}}$ obtido através da equação (22) com cinco termos no somatório do lado direito; a quarta coluna fornece o erro relativo obtido com o uso da equação (23). Como mostra a tabela, o erro associado à aproximação (23) é pequeno para graus médios de adensamento maiores do que aproximadamente 10%.

Tabela 1. Precisão da equação (23).

A Tabela 2, por sua vez, quantifica a precisão da equação (24). Observe que o erro relativo é pequeno para todos os graus médios de adensamento listados.

Tabela 2. Precisão da equação (24).

Exemplo 1

O tempo necessário para obter 45% de adensamento em um oedômetro com uma amostra duplamente drenada de 25.4 mm de espessura é igual a 250 segundos. Encontre o tempo necessário para obter um grau médio de adensamento igual a 70% em uma camada de solo de 12 metros de espessura. A camada é composta pelo mesmo tipo de solo utilizado no oedômetro, e uma camada rígida impermeável ocorre logo abaixo do solo.

Solução. Sendo $\displaystyle {{\bar{U}}_{z}}$ = 45% < 60%, o fator tempo pode ser calculado através da equação (23):

$\displaystyle {{T}_{v}}=\frac{\pi }{4}{{\left( {\frac{{{{{\bar{U}}}_{z}}\%}}{{100}}} \right)}^{2}}=\frac{\pi }{4}\times {{\left( {\frac{{45}}{{100}}} \right)}^{2}}=0.159$

Um oedômetro típico é duplamente drenado, de modo que o comprimento de drenagem é tal que H_dr = H/2 = 25.4/2 = 12.7 mm = 0.0127 m. Ajustando a equação (18), podemos obter o coeficiente de adensamento:

$\displaystyle {{T}_{v}}=\frac{{{{c}_{v}}t}}{{{{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}}^{2}}}}\to {{c}_{v}}=\frac{{{{T}_{v}}{{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}}^{2}}}}{t}$

$\displaystyle \therefore {{c}_{v}}=\frac{{0.159\times {{{0.0127}}^{2}}}}{{250}}=1.03\times {{10}^{{-7}}}\,{{\text{m}}^{\text{2}}}\text{/s}$

É conveniente exprimir o coeficiente de adensamento em m²/ano ao invés de m²/s:

$\displaystyle \therefore {{c}_{v}}=1.03\times {{10}^{{-7}}}\,\frac{{{{\text{m}}^{2}}}}{\text{s}}\times 60\,\frac{\text{s}}{{\text{min}}}\times 60\,\frac{{\text{min}}}{\text{h}}\times 24\,\frac{\text{h}}{{\text{dia}}}\times 365\,\frac{{\text{dias}}}{{\text{ano}}}$

$\displaystyle \therefore {{c}_{v}}=3.25\,{{\text{m}}^{2}}\text{/ano}$

Para um solo semelhante de 12 m de espessura com grau de adensamento igual a 70%, o fator tempo é (equação (24)):

$\displaystyle {{T}_{v}}=1.781-0.933{{\log }_{{10}}}\left( {100-70} \right)=0.403$

O tempo correspondente é:

$\displaystyle {{T}_{v}}=\frac{{{{c}_{v}}t}}{{{{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}}^{2}}}}\to t=\frac{{{{T}_{v}}{{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{c}_{v}}}}$

$\displaystyle \therefore t=\frac{{0.403\times {{{12}}^{2}}}}{{3.25}}=17.9\,\text{anos}\leftarrow$

A massa de solo requer 17.9 anos para atingir 70% de adensamento.

Exemplo 2

O tempo necessário para uma camada de argila atingir 70% de adensamento é 6 anos. Qual seria o tempo necessário para atingir o mesmo grau de adensamento se a argila fosse duas vezes mais espessa, quatro vezes mais permeável e cinco vezes mais compressível?

Solução. O tempo $\displaystyle {{t}_{{70}}}$ necessário para a argila original atingir 70% de adensamento é:

$\displaystyle {{T}_{v}}=\frac{{{{c}_{v}}{{t}_{{70}}}}}{{{{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}}^{2}}}}\to {{t}_{{70}}}=\frac{{{{T}_{v}}{{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{c}_{v}}}}$

$\displaystyle \therefore {{t}_{{70}}}=\frac{{{{T}_{v}}{{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{c}_{v}}}}=6\,\text{anos}$

Usando a definição de coeficiente de adensamento (equação (15)), podemos reescrever:

$\displaystyle {{t}_{{70}}}=\frac{{{{T}_{v}}{{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{c}_{v}}}}={{T}_{v}}{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}^{2}}\left( {\frac{{{{\gamma }_{w}}{{m}_{v}}}}{k}} \right)=6\,\text{anos}$

Seja $\displaystyle t_{{70}}^{*}$ o tempo necessário para a argila modificada atingir o mesmo grau de adensamento. Concluímos que:

$\displaystyle t_{{70}}^{*}={{T}_{v}}{{\left( {2{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}^{2}}\left( {\frac{{{{\gamma }_{w}}\times 5{{m}_{v}}}}{{4k}}} \right)=5{{T}_{v}}{{\left( {{{H}_{{\text{dr}}}}} \right)}^{2}}\left( {\frac{{{{\gamma }_{w}}{{m}_{v}}}}{k}} \right)$

$\displaystyle \therefore t_{{70}}^{*}=5{{t}_{{70}}}$

$\displaystyle \therefore t_{{70}}^{*}=5\times 6=30\,\text{anos}\leftarrow$

A argila modificada requer 30 anos para atingir 70% de adensamento.

Referências

BUDHU, M. (2008). Soil Mechanics and Foundations. 3ª edição. Hoboken: John Wiley and Sons.
KALIAKIN, V.N. (2017). Soil Mechanics: Calculations, Principles, and Methods. 1ª edição. Oxford: Butterworth-Heinemann.