Curvas S-N e a Regra de Palmgren-Miner

Discussões acerca de mecânica de estruturas ao nível introdutório geralmente restringem-se a carregamentos de amplitude e frequência constante. Porém, estruturas de interesse prático não raro estão sujeitas a forças variáveis. Um carregamento variável, se repetido de modo sucessivo, pode rapidamente provocar a ruptura de um componente mecânico. De fato, a falha pode ocorrer sem que o carregamento variável tenha em momento algum excedido a tensão de ruptura do material; tudo o que precisamos é de um número suficientemente grande de ciclos de carregamento. Falhas por fadiga são eminentemente “sorrateiras” e constituem a causa de muitos acidentes envolvendo estruturas civis, automotivas, navais e aeroespaciais.

1. Definições

A Figura 1 mostra a história de um carregamento cíclico no decurso do tempo (Herzberg et al., 2013). A tensão associada ao carregamento varia entre um valor mínimo $\displaystyle {{\sigma }_{{\min }}}$ e um valor máximo $\displaystyle {{\sigma }_{{\max }}}$ . A soma $\displaystyle {{\sigma }_{{\min }}}$ + $\displaystyle {{\sigma }_{{\max }}}$ constitui a faixa de tensões, $\displaystyle \Delta \sigma$ . A chamada tensão média $\displaystyle {{\sigma }_{m}}$ é a média aritmética de $\displaystyle {{\sigma }_{{\min }}}$ e $\displaystyle {{\sigma }_{{\max }}}$ :

$\displaystyle {{\sigma }_{m}}=\frac{{{{\sigma }_{{\max }}}+{{\sigma }_{{\min }}}}}{2}\,\,\,(1)$

Temos ainda a amplitude de tensões:

$\displaystyle {{\sigma }_{a}}=\frac{{{{\sigma }_{{\max }}}-{{\sigma }_{{\min }}}}}{2}\,\,\,(2)$

Temos ainda a razão de tensões:

$\displaystyle R=\frac{{{{\sigma }_{{\min }}}}}{{{{\sigma }_{{\max }}}}}\,\,\,(3)$

Note que R é redundante quando possuímos $\displaystyle {{\sigma }_{m}}$ e $\displaystyle {{\sigma }_{a}}$ . Todavia, o valor de R é importante porque nos ajuda a caracterizar um carregamento variável com simplicidade.

Figura 1. Perfil de um carregamento cíclico.

2. Curvas S–N

Dados do comportamento de uma estrutura em fadiga são frequentemente representados por curvas S-N. Uma curva S–N é um gráfico da amplitude de tensão cíclica $\displaystyle {{\sigma }_{a}}$ , no eixo vertical, versus o número de ciclos até falha N, no eixo horizontal. O eixo horizontal é sempre disposto em escala logarítmica, ao passo que o eixo vertical pode ou não sê-lo. (Alguns autores sugerem o uso da notação $\displaystyle {{\sigma }_{A}}$ , com subscrito “A” maiúsculo, quando falamos de dados de uma curva S–N, mas eu preferi não seguir este formalismo em nossa discussão.) A Figura 2a mostra o traçado de uma curva S–N típica; observe que, a princípio, N decresce a medida que aumentamos o valor de $\displaystyle {{\sigma }_{a}}$ , o que traduz-se no fato de que quanto maior for a amplitude de tensão, menor será o número de ciclos que a estrutura pode tolerar. Observe ainda que a curva eventualmente atinge um cotovelo e torna-se horizontal, indicando a existência de uma amplitude de tensão mínima abaixo da qual uma falha nunca ocorrerá, independentemente do número de ciclos. Tal valor de tensão é denominado limite de fadiga. A referida quebra na curva geralmente ocorre para um número de ciclos próximo de 10⁶ (1 milhão). Não há dúvida de que este é um ponto de referência conveniente, mas uma parcela substancial de materiais, tais como certas ligas de alumínio, não apresentam uma quebra precisamente definida. Ao invés disso, a amplitude para falha continua a diminuir progressivamente à medida que o número de ciclos aumenta, como exemplifica a Figura 2b. Em tais casos, é comum tomar a amplitude de tensão referente a 2 $\displaystyle \times$ 10⁶ ou 10⁷ ciclos como uma medida de resistência à fadiga (Rösler et al., 2006).

Figura 2. (a) Curva S-N bem-definida; e (b) Curva S-N mal-definida.

Se uma curva S–N for plotada em uma escala bilogarítmica, não raro observamos uma linha reta para N < 10⁶. Nesse caso, a curva pode ser descrita pela lei de potência

$\displaystyle {{\sigma }_{a}}=A{{N}^{{-b}}}\,\,\,(\text{4})$

onde A e b são parâmetros obtidos por meio de ajuste de curva. A constante A é aproximadamente igual à resistência à tração do material. No caso de metais, a equação (4) é comumente escrita na seguinte forma, conhecida como equação de Basquin:

$\displaystyle {{\sigma }_{a}}={{{\sigma }'}_{f}}{{\left( {2{{N}_{f}}} \right)}^{{-a}}}\,\,\,(5)$

onde $\displaystyle {{{\sigma }'}_{f}}$ é um coeficiente relacionado à resistência à tração do metal e $\displaystyle a$ é um expoente que depende do material e da geometria da estrutura.

Exemplo 1

Obtenha os parâmetros A e b para uma liga de alumínio descrita pela curva S-N da Figura 2b.

Solução. Note que o gráfico está em escala bilogarítmica e o segmento da curva para um número de ciclos menor que 10⁶ é aproximadamente linear; portanto, podemos utilizar a equação (4). Um dos pontos da curva é (10⁴, 600), ou seja:

$\displaystyle {{\sigma }_{a}}=A{{N}^{{-b}}}\to 600=A\times {{\left( {{{{10}}^{4}}} \right)}^{{-b}}}$

Outro ponto da curva é (10⁶, 200), logo:

$\displaystyle {{\sigma }_{a}}=A{{N}^{{-b}}}\to 200=A\times {{\left( {{{{10}}^{6}}} \right)}^{{-b}}}$

Dividindo a primeira equação pela segunda e resolvendo para b, temos:

$\displaystyle \frac{{600}}{{200}}=\frac{{A\times {{{\left( {{{{10}}^{4}}} \right)}}^{{-b}}}}}{{A\times {{{\left( {{{{10}}^{6}}} \right)}}^{{-b}}}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{600}}{{200}}={{\left( {\frac{{{{{10}}^{4}}}}{{{{{10}}^{6}}}}} \right)}^{{-b}}}$

$\displaystyle \therefore {{\log }_{{10}}}\left( {\frac{{600}}{{200}}} \right)=-b\times {{\log }_{{10}}}\left( {\frac{{{{{10}}^{4}}}}{{{{{10}}^{6}}}}} \right)$

$\displaystyle \therefore b=-\frac{{{{{\log }}_{{10}}}\left( {{{600}}/{{200}}\;} \right)}}{{{{{\log }}_{{10}}}\left( {{{{{{10}}^{4}}}}/{{{{{10}}^{6}}}}\;} \right)}}$

$\displaystyle \therefore b=0.239$

Substituindo b em uma das duas equações iniciais e resolvendo para A, vem:

$\displaystyle 600=A\times {{\left( {{{{10}}^{4}}} \right)}^{{-b}}}=A\times {{\left( {{{{10}}^{4}}} \right)}^{{-0.239}}}$

$\displaystyle \therefore A=\frac{{600}}{{{{{\left( {{{{10}}^{4}}} \right)}}^{{-0.239}}}}}=5420\,\text{MPa}$

Sendo assim, a parte linear da curva S–N é descrita pela lei de potência

$\displaystyle {{\sigma }_{a}}=5420{{N}^{{-0.239}}}\,\,\,\leftarrow$

Como sugere o exemplo acima, o uso de curvas S–N já prontas é bastante simples; a obtenção destas, no entanto, pode constituir um processo laborioso de testagem mecânica e ajuste de curvas. Independentemente do material testado, a dispersão em dados de número de ciclos até falha tende a ser grande, uma vez que mesmo defeitos microscópicos na superfície de um componente podem influenciar apreciavelmente seu comportamento em fadiga. Para minimizar o impacto de tal imprecisão, faz-se necessário o uso de uma série de experimentos, usualmente 6 a 10, sob cada nível de carregamento considerado pertinente (Rösler et al., 2006).

3. A regra de Palmgren-Miner

A abordagem mais simples que podemos utilizar na modelagem de fadiga sob carregamentos variáveis é o uso de teorias de dano cumulativo. Como sugere o nome, estas modelam a fadiga de um material como um processo de acumulação, no qual cada sequência de carregamento variável consome uma fração da vida útil inerente ao material. Considere o carregamento de amplitude variável ilustrado na Figura 3a e a curva S–N ilustrada na Figura 3b. Uma sequência de tensões de amplitude $\displaystyle {{\sigma }_{{a1}}}$ é aplicada em um número de ciclos $\displaystyle {{N}_{1}}$ ; o número de ciclos até falha na curva S–N para uma tensão $\displaystyle {{\sigma }_{{a1}}}$ é $\displaystyle {{N}_{{f1}}}$ . A fração da vida útil do material exaurida nessa sequência de carregamentos é $\displaystyle {{N}_{1}}$ / $\displaystyle {{N}_{f1}}$ . Suponha agora que uma tensão de amplitude $\displaystyle {{\sigma }_{{a2}}}$ , correspondente a $\displaystyle {{N}_{{f2}}}$ na curva S–N, seja aplicada por $\displaystyle {{N}_{2}}$ ciclos. Uma fração adicional $\displaystyle {{N}_{2}}$ / $\displaystyle {{N}_{{f2}}}$ da vida útil do material será consumida no processo. De modo análogo, a estrutura é submetida a uma tensão de amplitude $\displaystyle {{\sigma }_{{a3}}}$ ao longo de $\displaystyle {{N}_{3}}$ ciclos, consumindo uma fração $\displaystyle {{N}_{3}}$ / $\displaystyle {{N}_{{f3}}}$ da vida útil do material. A chamada Regra de Palmgren-Miner diz que uma falha por fadiga ocorrerá quando a soma das “frações de vida” $\displaystyle {{N}_{j}}$ / $\displaystyle {{N}_{{f\,j}}}$ for igual a 1:

$\displaystyle \frac{{{{N}_{1}}}}{{{{N}_{{f1}}}}}+\frac{{{{N}_{2}}}}{{{{N}_{{f2}}}}}+\frac{{{{N}_{3}}}}{{{{N}_{{f3}}}}}+...=\sum{{\frac{{{{N}_{j}}}}{{{{N}_{{f\,j}}}}}}}=1\,\,\,(6)$

Figura 3. Carregamento cíclico de amplitude variável.

Exemplo 2

A curva S–N de um material é descrita pela relação

$\displaystyle \log N=10\left( {1-{{{{\sigma }_{a}}}}/{{\bar{\sigma }}}\;} \right)$

onde N é o número de ciclos até falha, $\displaystyle {{\sigma }_{a}}$ é a amplitude da tensão cíclica aplicada e $\displaystyle \bar{\sigma }$ é a resistência monotônica à fratura – isto é, $\displaystyle \bar{\sigma }$ = $\displaystyle {{\sigma }_{{\max }}}$ quando N = 1. Um componente rotativo constituído deste material é submetido a 20,000 ciclos sob amplitude $\displaystyle {{\sigma }_{a}}$ = 0.4 $\displaystyle \bar{\sigma }$ . Se o carregamento cíclico for intensificado a um valor $\displaystyle {{\sigma }_{a}}$ = 0.6 $\displaystyle \bar{\sigma }$ , quantos ciclos adicionais o componente pode suportar antes de falhar em decorrência de fadiga?

Solução. Substituindo $\displaystyle {{\sigma }_{a}}$ = 0.4 $\displaystyle \bar{\sigma }$ na equação dada e resolvendo para N, temos

$\displaystyle \log N=10\left( {1-{{0.4\bar{\sigma }}}/{{\bar{\sigma }}}\;} \right)=10\times 0.6=6.0$

$\displaystyle \therefore {{N}_{{f1}}}={{10}^{{6.0}}}\,\text{ciclos}$

Do mesmo modo, substituindo $\displaystyle {{\sigma }_{a}}$ = 0.6 $\displaystyle \bar{\sigma }$ e resolvendo para N, vem:

$\displaystyle \log N=10\left( {1-{{0.6\bar{\sigma }}}/{{\bar{\sigma }}}\;} \right)=10\times 0.4=4.0$

$\displaystyle \therefore {{N}_{{f2}}}={{10}^{{4.0}}}\,\text{ciclos}$

Substituindo na regra de Palmgren-Miner, segue que

$\displaystyle \frac{{{{N}_{1}}}}{{{{N}_{{f1}}}}}+\frac{{{{N}_{2}}}}{{{{N}_{{f2}}}}}=1.0$

$\displaystyle \therefore \frac{{20,000}}{{{{{10}}^{6}}}}+\frac{{{{N}_{2}}}}{{{{{10}}^{4}}}}=1.0$

$\displaystyle \therefore {{N}_{2}}=9800\,\text{ciclos}\leftarrow$

O componente pode suportar mais 9800 ciclos sob tensão de amplitude 0.6 $\displaystyle \bar{\sigma }$ .

A principal limitação da Regra de Palmgren-Miner reside no fato de que esta ignora a ordem de aplicação dos carregamentos. Experimentos sugerem que a vida de um material – sobretudo metais – será mais curta do que prediz a regra se a amplitude dos ciclos iniciais for maior do que a amplitude dos ciclos subsequentes (Hosford, 2010). De modo semelhante, se os ciclos iniciais tiverem amplitude menor do que os ciclos posteriores, a vida do material pode facilmente exceder o valor indicado pela regra. De fato, a vida de um metal pode ser estendida por meio de ciclagem abaixo do limite de fadiga, um processo denominado coaxing.

Referências

HERTZBERG, R.W., VINCI, R.P. e HERTZBERG, J.L. (2013). Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials. 5ª edição. Hoboken: John Wiley and Sons.
HOSFORD, W.F. (2010). Mechanical Behavior of Materials. 2ª edição. Cambridge: Cambridge University Press.
RÖSLER, J., HARDERS, H. e BÄKER, M. (2006). Mechanical Behaviour of Engineering Materials. Berlim/Heidelberg: Springer.