Escoamento de Hagen-Poiseuille em Condutos Cilíndricos

No post de hoje, apresentamos a derivação da equação de Hagen-Poiseuille, um célebre resultado de enorme elegância e utilidade prática.

1. Simplificando as equações de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes e a equação de continuidade descrevem uma variedade de problemas de escoamento. De maneira geral, podemos enunciá-las da seguinte forma:

onde u, v e w são as componentes de velocidade do escoamento nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente; t é o tempo; p é a pressão exercida sobre o fluido; $\displaystyle \rho$ é a densidade do fluido; e $\displaystyle \mu$ é a viscosidade dinâmica do fluido. As equações de Navier-Stokes, (1) a (3), são basicamente aplicações da segunda lei de Newton a um elemento de fluido, ao passo que a equação de continuidade, (4), é uma representação matemática do princípio de conservação de volume. No presente post, estamos interessados em modelar o escoamento em um conduto cilíndrico, e problemas com geometria circular são melhor representados com coordenadas cilíndricas. Sendo assim, podemos reescrever (1) a (4) da seguinte forma:

Nesse caso, u, v e w tornam-se as componentes de velocidade nas direções x (axial), r (radial) e $\displaystyle \theta$ (circunferencial), respectivamente (Figura 1). Supomos que a seção transversal do tubo é circular e constante, não existem forças externas sobre o conduto e o escoamento é completamente desenvolvido.

Figura 1. Conduto cilíndrico.

Primeiramente, as hipóteses de que o conduto é reto, possui seção transversal circular e é livre de forças externas permitem-nos concluir que o escoamento será simétrico sobre o eixo longitudinal, de modo que a componente angular da velocidade de escoamento e todas as derivadas na direção circunferencial resultam em zero:

$\displaystyle w=\frac{{\partial w}}{{\partial \theta }}=\frac{{\partial v}}{{\partial \theta }}=\frac{{\partial u}}{{\partial \theta }}=\frac{{\partial p}}{{\partial \theta }}=0\,\,\,(9)$

Munidos desses resultados, podemos simplificar consideravelmente as equações anteriores. De fato, todos os termos da equação de momento para w tornam-se zero, eliminando a equação (7) e simplificando as demais equações para as seguintes expressões:

2. O perfil de velocidades

Considerando, em seguida, que o escoamento é completamente desenvolvido, as derivadas das componentes de velocidade u e v na direção axial devem ser nulas, ou seja:

$\displaystyle \frac{{\partial u}}{{\partial x}}=\frac{{\partial v}}{{\partial x}}=0\,\,\,(13)$

Sendo assim, a equação de continuidade torna-se:

$\displaystyle \frac{{\partial u}}{{\partial x}}+\frac{{\partial v}}{{\partial r}}+\frac{v}{r}=\frac{{\partial v}}{{\partial r}}+\frac{v}{r}=0\,\,\,(14)$

Utilizando a regra da cadeia:

$\displaystyle \frac{{\partial v}}{{\partial r}}+\frac{v}{r}=\frac{1}{r}\frac{{\partial \left( {rv} \right)}}{{\partial r}}=0\,\,\,(15)$

Para que a igualdade acima seja satisfeita, a derivada parcial de rv deve ser nula; para que uma derivada parcial seja nula, o derivando deve ser constante:

$\displaystyle rv=\text{const}\text{.}\,\,\,\text{(16)}$

Uma vez que a velocidade v deve ser nula na parede do conduto (r = R, condição antideslizamento), a componente radial da velocidade deve ser igual a zero, isto é:

$\displaystyle v=0\,\,\,(17)$

Concluímos até aqui que w e v são ambas nulas, de modo que a única componente de velocidade remanescente é a componente axial u. Com v = 0, a equação (6) é reduzida a

$\displaystyle \frac{{\partial p}}{{\partial r}}=0\,\,\,(18)$

Isso significa que p é uma função de x e t apenas. Na equação de Navier-Stokes remanescente, (10), os termos que contêm gradientes de velocidade em x são nulos em vista da equação (13) e o termo contendo v é nulo por conta da equação (17); dessa forma, a equação reduz-se a:

$\displaystyle \rho \frac{{\partial u}}{{\partial t}}+\frac{{\partial p}}{{\partial x}}=\mu \left( {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{r}^{2}}}}+\frac{1}{r}\frac{{\partial u}}{{\partial r}}} \right)\,\,\,(19)$

Para um escoamento estacionário, a velocidade deve ser constante ao longo do tempo, simplificando a equação e produzindo:

$\displaystyle \frac{{dp}}{{dx}}=\mu \left( {\frac{{{{d}^{2}}u}}{{d{{r}^{2}}}}+\frac{1}{r}\frac{{du}}{{dr}}} \right)\,\,\,(20)$

A equação acima descreve o equilíbrio entre dois efeitos que atuam no escoamento: o gradiente de pressão, do lado esquerdo, e a viscosidade do fluido, do lado direito.

Nosso objetivo, em seguida, é resolver a equação (20) e obter uma expressão que descreva o perfil de velocidades na seção transversal do conduto. Primeiramente, o gradiente de pressão entre dois pontos de interesse ao longo da trajetória do conduto é suposto constante e igual a um valor k:

$\displaystyle k=\frac{{p\left( {x=L} \right)-p\left( {x=0} \right)}}{L}=\frac{{\Delta p}}{L}\,\,\,(21)$

onde L é uma distância que não precisa ser necessariamente igual ao comprimento do conduto (Figura 2). É importante observar que o escoamento deve ter caráter totalmente desenvolvido no ponto tomado como x = 0.

Figura 2. Distância ao longo do conduto cilíndrico.

Substituindo k na equação (20), temos:

$\displaystyle \frac{{dp}}{{dx}}=\mu \left( {\frac{{{{d}^{2}}u}}{{d{{r}^{2}}}}+\frac{1}{r}\frac{{du}}{{dr}}} \right)=k$

$\displaystyle \therefore \frac{{{{d}^{2}}u}}{{d{{r}^{2}}}}+\frac{1}{r}\frac{{du}}{{dr}}=\frac{k}{\mu }$

ou:

$\displaystyle \frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{du}}{{dr}}} \right)=\frac{k}{\mu }r\,\,\,(22)$

Integrando, vem:

$\displaystyle \frac{{du}}{{dr}}=\frac{k}{{2\mu }}r+\frac{{{{C}_{1}}}}{r}\,\,\,(23)$

onde C₁ é uma constante. Integrando uma segunda vez, vem:

$\displaystyle u\left( r \right)=\frac{k}{{4\mu }}{{r}^{2}}+{{C}_{1}}\ln r+{{C}_{2}}\,\,\,(24)$

onde C₂ é uma constante. Para obter as constantes C₁ e C₂, empregamos duas condições de contorno, quais sejam: (1) a velocidade no centro do conduto deve ser finita; e (2) a velocidade na parede do conduto deve ser nula (condição antideslizamento); matematicamente:

$\displaystyle \left| {u\left( {r=0} \right)} \right|\ne \infty \,\,\,(\text{Cond}\text{. 1)}$

$\displaystyle u\left( {r=R} \right)=0\,\,\,(\text{Cond}\text{. 2)}$

Para que a condição (1) seja satisfeita, a constante C₁ deve ser nula:

$\displaystyle {{C}_{1}}=0\,\,\,(25)$

Para que a condição (2) seja satisfeita, temos:

$\displaystyle u\left( {r=R} \right)=\frac{k}{{4\mu }}{{R}^{2}}+0\times \ln r+{{C}_{2}}=0$

$\displaystyle \therefore {{C}_{2}}=-\frac{k}{{4\mu }}{{R}^{2}}\,\,\,(26)$

Substituindo em (24), obtemos:

$\displaystyle u\left( r \right)=-\frac{k}{{4\mu }}\left( {{{R}^{2}}-{{r}^{2}}} \right)\,\,\,(27)$

Esse importante resultado descreve o perfil de velocidades ao longo da seção transversal do conduto. Observamos que o perfil de velocidades é um paraboloide cujo maior valor, u_max, ocorre no eixo central do conduto, r = 0 (Figura 3):

$\displaystyle \left| {{{u}_{{\max }}}} \right|=\frac{k}{{4\mu }}\left( {{{R}^{2}}-{{0}^{2}}} \right)=\frac{{k{{R}^{2}}}}{{4\mu }}\,\,\,(28)$

Claramente, a velocidade máxima é diretamente proporcional ao gradiente de pressão e ao raio do conduto, e inversamente proporcional à viscosidade do fluido. Munidos do resultado acima, podemos reescrever o perfil de velocidades (27) de forma mais concisa:

$\displaystyle u\left( r \right)={{u}_{{\max }}}\left[ {1-{{{\left( {\frac{r}{R}} \right)}}^{2}}} \right]\,\,\,(29)$

Figura 3. Perfil de velocidades na seção transversal do conduto.

3. A equação de Hagen-Poiseuille

Para determinar a vazão volumétrica no conduto, consideramos um elemento anular infinitesimal entre raios r e r + dr para o qual a velocidade pode ser suposta constante. A vazão infinitesimal no elemento é dada por:

$\displaystyle dQ=\left| u \right|\times 2\pi rdr\,\,\,(30)$

Integrando sobre o conduto, vem:

$\displaystyle \int_{0}^{Q}{{dQ}}=2\pi \int_{0}^{R}{{\left| u \right|rdr}}$

$\displaystyle \therefore Q=\frac{{\pi k}}{{2\mu }}\int_{0}^{R}{{\left( {{{R}^{2}}-{{r}^{2}}} \right)rdr}}$

$\displaystyle \therefore Q=\frac{{\pi k}}{{2\mu }}\left( {\frac{{{{R}^{2}}{{r}^{2}}}}{2}-\frac{{{{r}^{4}}}}{4}} \right)_{0}^{R}$

$\displaystyle \therefore Q=\frac{{\pi k{{R}^{4}}}}{{8\mu }}\,\,\,(31)$

Substituindo o gradiente de pressão k com (21):

$\displaystyle Q=\frac{{\pi \Delta p{{R}^{4}}}}{{8\mu L}}$

Esse importante resultado foi obtido de modo independente pelo engenheiro prussiano Gotthilf Hagen (1797 – 1884) e pelo médico francês Jean Poiseuille (1797 – 1869). Observamos que a vazão é particularmente sensível a aumentos sobre o raio: um aumento de 10% no raio de um conduto cilíndrico implica o transporte de uma vazão 46% maior.

Outro resultado notável é a velocidade de escoamento média $\displaystyle \bar{u}$ , que pode ser obtida dividindo a vazão Q pela área da seção do conduto:

$\displaystyle \bar{u}=\frac{Q}{A}=\frac{{{{\pi k{{R}^{4}}}}/{{8\mu }}\;}}{{\pi {{R}^{2}}}}=-\frac{{k{{R}^{2}}}}{{8\mu }}=-\frac{{{{R}^{2}}}}{{8\mu }}\frac{{\Delta p}}{L}\,\,\,(33.1)$

$\displaystyle \therefore \bar{u}=\frac{{{{u}_{{\max }}}}}{2}\,\,\,(33.2)$

Isto é, a velocidade de escoamento média é igual a metade da velocidade máxima.

Um último resultado notável, que é particularmente importante para aplicações em biomecânica de fluidos, é o cisalhamento da parede:

$\displaystyle \tau =\mu \frac{{d{{u}_{{\max }}}}}{{dr}}=\mu {{\left. {\left( {\frac{{-2r{{u}_{{\max }}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right)} \right|}_{{r=R}}}$

$\displaystyle \therefore \tau =-\frac{{2\mu {{u}_{{\max }}}}}{R}\,\,\,(34)$

Podemos substituir u_max usando (28) e obter:

$\displaystyle {{\tau }_{w}}=-\frac{{2\mu {{u}_{{\max }}}}}{R}=-\frac{{2\mu }}{R}\times \frac{{k{{R}^{2}}}}{{4\mu }}=-\frac{{kR}}{2}=-\frac{{\Delta pR}}{{2L}}\,\,\,(35)$

Frequentemente, uma quantidade de interesse é a perda de pressão $\displaystyle \Delta$ p, que tem relação direta com a potência necessária para alimentar uma bomba e manter um escoamento. Podemos resolver a equação (33.1) para a perda de pressão $\displaystyle \Delta$ p e obter:

$\displaystyle \Delta p=\frac{{8\mu L\bar{u}}}{{{{R}^{2}}}}=\frac{{32\mu L\bar{u}}}{{{{D}^{2}}}}\,\,\,(36)$

Observe que a viscosidade dinâmica $\displaystyle \mu$ é um fator na equação acima; a equação descreve a perda de pressão $\displaystyle \Delta$ p_L observada quando um fluido de viscosidade $\displaystyle \mu$ flui em um conduto de diâmetro D e comprimento L com velocidade média $\displaystyle \bar{u}$ .

Na prática, é conveniente exprimir a perda de pressão para qualquer conduto – incluindo seções não-circulares – na forma geral

$\displaystyle \Delta p=f\frac{L}{D}\frac{{\rho {{{\bar{u}}}^{2}}}}{2}\,\,\,(37)$

onde $\displaystyle \rho$ é a densidade do fluido, o produto $\displaystyle \rho$ $\displaystyle {{\bar{u}}^{2}}$ /2 é a pressão dinâmica e f é o fator de atrito de Darcy-Weisbach,

$\displaystyle f=\frac{{8{{\tau }_{w}}}}{{\rho {{{\bar{u}}}^{2}}}}\,\,\,(38)$

Igualando (36) e (37), obtemos uma relação para o fator de atrito referente a um escoamento laminar completamente desenvolvido em um conduto cilíndrico:

$\displaystyle f\frac{L}{D}\frac{{\rho {{{\bar{u}}}^{2}}}}{2}=\frac{{32\mu L\bar{u}}}{{{{D}^{2}}}}$

$\displaystyle \therefore f\frac{1}{D}\frac{{\rho \bar{u}}}{2}=\frac{{32\mu }}{{{{D}^{2}}}}$

$\displaystyle \therefore f\frac{{\rho \bar{u}}}{2}=\frac{{32\mu }}{D}$

$\displaystyle \therefore f=\frac{{64\mu }}{{\rho \bar{u}D}}\,\,\,(39)$

Mas, pela definição de número de Reynolds:

$\displaystyle Re=\frac{{\rho \bar{u}D}}{\mu }\,\,\,(40)$

Sendo assim:

$\displaystyle f=\frac{{64}}{{Re}}\,\,\,(41)$

Esse resultado mostra que, para um escoamento laminar em um conduto cilíndrico, o fator de atrito é unicamente dependente do número de Reynolds.

Exemplo

Glicerina a uma temperatura de 20^oC (densidade = 1260 kg/m, viscosidade dinâmica = 1.49 kg/m·s) está sendo bombeada a 3.1 m³/s em um tubo cilíndrico. Desejamos que o escoamento seja laminar e que a queda de pressão seja no máximo 100 Pa/m. Qual é o diâmetro mínimo permissível?

Solução. Resolvendo a equação (32) para a queda de pressão $\displaystyle \Delta$ p/L, a qual deve ser não maior do que 100 Pa/m, temos:

$\displaystyle Q=\frac{{\pi \Delta p{{R}^{4}}}}{{8\mu L}}\to \frac{{\Delta p}}{L}=\frac{{8\mu Q}}{{\pi {{R}^{4}}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{\Delta p}}{L}=\frac{{8\times 1.49\times 3.1}}{{\pi \times {{R}^{4}}}}\le 100$

$\displaystyle \therefore R\ge {{\left( {\frac{{8\times 1.49\times 3.1}}{{\pi \times 100}}} \right)}^{{0.25}}}=0.586\,\text{m}$

$\displaystyle \therefore D\ge 1.17\,\text{m}\,\,\text{(Desigualdade 1)}$

Ademais, para que o escoamento seja laminar, o número de Reynolds deve ser menor que $\displaystyle \approx$ 2000. Lembrando que o número de Reynolds para um conduto cilíndrico é (equação (40)):

$\displaystyle Re=\frac{{\rho \bar{u}D}}{\mu }\le 2000$

Podemos substituir a velocidade $\displaystyle \bar{u}$ pela razão entre a vazão Q e a área da seção $\displaystyle \pi$ D²/4:

$\displaystyle \frac{{\rho \times Q\times D}}{{\mu \times \pi \times {{{{D}^{2}}}}/{4}\;}}\le 2000$

$\displaystyle \therefore \frac{{4\rho Q}}{{\pi \mu D}}\le 2000$

$\displaystyle \therefore D\ge \frac{{4\rho Q}}{{\pi \mu \times 2000}}$

$\displaystyle \therefore D\ge \frac{{4\times 1260\times 3.1}}{{\pi \times 1.49\times 2000}}=1.67\,\text{m}\,\,\,\text{(Desigualdade 2)}$

A desigualdade 2 é mais estringente. Sendo assim, o conduto deve ter um diâmetro mínimo de 1.67 metros.

Referências

ÇENGEL, Y.A. e CIMBALA, J.M. (2018). Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications. 4ª edição. Nova York: McGraw-Hill.
WHITE, F.M. (2015). Fluid Mechanics. 8ª edição. Nova York: McGraw-Hill.
ZAMIR, M. (2016). Hemo-Dynamics. Berlin/Heidelberg: Springer.