Infiltração em Solos: Equações de Horton e Philip

No post teórico de hoje, discutimos duas equações utilizadas na modelagem de infiltração de água em solos. Os cálculos pertinentes podem ser encontrados nessa planilha de Excel.

1. Equação de Horton

Na década de 1930, Robert E. Horton propôs uma equação que ainda hoje é amplamente utilizada na prática hidrológica:

$\displaystyle f={{f}_{C}}+\left( {{{f}_{0}}-{{f}_{C}}} \right){{e}^{{-\beta t}}}\,\,\,(1)$

onde f é a taxa de infiltração no tempo t, f₀ é a taxa de infiltração em t = 0, f_c é a capacidade de infiltração final e $\displaystyle \beta$ é um parâmetro de ajuste. Observe que a equação requer o ajuste de três parâmetros: f_c, f₀ e $\displaystyle \beta$ . Para que a equação seja dimensionalmente homogênea, o parâmetro de decaimento $\displaystyle \beta$ deve ter dimensões de tempo recíproco (T^–1). A equação de Horton é simples de usar, apresenta compatibilidade razoável com dados empíricos e ocorre em diversos modelos computacionais mais antigos, como o SWMM, da reguladora americana EPA. Sua principal limitação é a necessidade de obter três parâmetros para cada aplicação prática, pois não existem valores de referência típicos para solos comuns.

Para plotar a equação de Horton, podemos aplicar logaritmos e manipular, obtendo:

$\displaystyle f={{f}_{C}}+\left( {{{f}_{0}}-{{f}_{C}}} \right){{e}^{{-\beta t}}}$

$\displaystyle \therefore f-{{f}_{C}}=\left( {{{f}_{0}}-{{f}_{C}}} \right){{e}^{{-\beta t}}}$

$\displaystyle \therefore \ln \left( {f-{{f}_{C}}} \right)=\ln \left[ {\left( {{{f}_{0}}-{{f}_{C}}} \right){{e}^{{-\beta t}}}} \right]$

$\displaystyle \therefore \ln \left( {f-{{f}_{C}}} \right)=\ln \left( {{{f}_{0}}-{{f}_{C}}} \right)+\ln {{e}^{{-\beta t}}}$

$\displaystyle \therefore \ln \left( {f-{{f}_{C}}} \right)=\ln \left( {{{f}_{0}}-{{f}_{C}}} \right)-\beta t\,\,\,(2)$

Portanto, um gráfico de ln(f – f_c) versus tempo fornecerá uma linha reta com declividade igual a – $\displaystyle \beta$ e interseção com o eixo vertical igual a ln(f₀ – f_c). A capacidade de infiltração f_c pode ser obtida por inspeção dos dados experimentais. O ajuste de parâmetros é demonstrado no exemplo a seguir.

Exemplo 1

Dados de capacidade de infiltração para um solo estão listados na tabela a seguir.

A) Forneça gráficos de infiltração cumulativa e taxa de infiltração em função do tempo.

B) Obtenha os parâmetros de ajuste f_c, f₀ e $\displaystyle \beta$ e escreva a equação de Horton para o solo em questão.

Solução. Os dados são processados na tabela a seguir.

Em seguida, plotamos infiltração cumulativa (coluna vermelha) versus tempo (coluna amarela) e taxa de infiltração (coluna azul) versus tempo. Observe que a taxa de infiltração atinge um valor aproximadamente estável e igual a 2.97 cm/h para grandes valores de tempo; sendo assim, f_c = 2.97 cm/h.

Em seguida, plotamos ln(f – f_c) (coluna verde) versus tempo e traçamos a melhor reta para tais dados.

Como mostra o gráfico, a reta de melhor ajuste tem equação

$\displaystyle y=-0.9384x+1.1765$

Comparando essa expressão com (2), concluímos que a constante de decaimento é

$\displaystyle \beta =0.938\,{{\text{h}}^{{-1}}}$

e o valor de f₀ é tal que

$\displaystyle \ln \left( {{{f}_{o}}-{{f}_{C}}} \right)=1.1765$

$\displaystyle \therefore {{f}_{o}}-{{f}_{C}}={{e}^{{1.1765}}}$

$\displaystyle \therefore {{f}_{o}}-{{f}_{C}}={{e}^{{1.1765}}}=3.24$

$\displaystyle \therefore {{f}_{o}}-2.97=3.24$

$\displaystyle \therefore {{f}_{o}}=6.21\,\text{cm/h}$

Por fim, temos f_o = 6.21 cm/h, f_c = 2.97 cm/h e $\displaystyle \beta$ = 0.938 h^–1. A equação que descreve a infiltração de água no solo em questão é:

$\displaystyle f=2.97+\left( {6.21-2.97} \right)\exp \left( {-0.938t} \right)$

$\displaystyle \therefore f=2.97+3.24\exp \left( {-0.938t} \right)\leftarrow$

2. Equação de Philip

A equação de infiltração de Philip, publicada inicialmente em 1957, é obtida através de uma solução de série truncada que descreve um processo de infiltração cumulativa. A equação tem forma

$\displaystyle I=S{{t}^{{{1}/{2}\;}}}+At\,\,\,(3)$

onde I é a infiltração cumulativa, t é o tempo, S é a sortividade do solo e A é uma constante empírica que tem dimensões de distância sobre tempo (L T^–1). A sortividade é uma medida da capacidade do solo de absorver água; é numericamente igual à infiltração cumulativa na primeira unidade de tempo. Para solos inicialmente secos (conteúdo volumétrico de água inicial $\displaystyle {{\theta }_{i}}$ = 0), seu valor varia entre aproximadamente 5 $\displaystyle \times$ 10^–5 m/s^1/2 (0.04 cm/min^1/2) para argilas densas e aproximadamente 2 $\displaystyle \times$ 10^–3 m/s^1/2 (1.5 cm/min^1/2) para areias grossas. O segundo coeficiente de interesse na equação, A, é relacionado à condutividade hidráulica do solo. De fato, para modelagem de infiltração no decurso de um período suficientemente extenso, já foi sugerido que a condutividade hidráulica saturada pode ser utilizada no lugar de A (Hanks, 1992). Embora conveniente, essa aproximação pode produzir estimativas exageradas de infiltração.

O primeiro termo no lado direito da equação de Philip fornece a infiltração de água no solo devido a capilaridade e adsorção, sem qualquer influência de efeitos gravitacionais. O segundo termo, por sua vez, representa a habilidade do solo de transportar água na zona de transição, sob influência da gravidade. O primeiro termo é dominante no período inicial de transporte. Nesse período, o componente gravitacional, representado pelo segundo termo, é tão pequeno que o transporte de água prossegue como se a infiltração fosse horizontal. À medida que a infiltração continua, o segundo termo torna-se gradualmente mais importante e eventualmente passa a dominar o processo de infiltração. Essas características do modelo de Philip são ilustradas no exemplo a seguir.

Exemplo 2

Em um teste de infiltração para um solo arenoso, os conteúdos volumétricos de água inicial e saturado são $\displaystyle {{\theta }_{{vi}}}$ = 0.15 e $\displaystyle {{\theta }_{{vs}}}$ = 0.56, respectivamente; observou-se que uma frente de umedecimento acentuada progrediu 10 cm a partir da origem em 16 min. A condutividade hidráulica saturada do solo é 0.03 cm/min. Plote as infiltrações vertical e horizontal para 1, 10, 100, 1000, 10,000 e 100,000 minutos.

Solução. Onde há uma frente de umedecimento acentuada, a sortividade pode ser estimada pela relação

$\displaystyle S=\frac{{\left( {{{\theta }_{{vs}}}-{{\theta }_{{vi}}}} \right)h}}{{{{t}^{{{1}/{2}\;}}}}}=\frac{{\left( {0.56-0.15} \right)\times 10}}{{{{{16}}^{{{1}/{2}\;}}}}}=1.03\,\text{cm/mi}{{\text{n}}^{{{1}/{2}\;}}}$

O coeficiente A pode ser igualado à condutividade hidráulica = 0.03 cm/min. Podemos então calcular as infiltrações cumulativas através da equação de Philip. Por exemplo, para t = 10 min,,

$\displaystyle S{{t}^{{{1}/{2}\;}}}=1.03\times {{10}^{{{1}/{2}\;}}}=3.26\,\text{cm}$

$\displaystyle At=0.03\times 10=0.3\,\text{cm}$

de modo que a infiltração horizontal torna-se

$\displaystyle {{I}_{x}}=S{{t}^{{{1}/{2}\;}}}=3.26\,\text{cm}$

e a infiltração vertical é

$\displaystyle {{I}_{y}}=S{{t}^{{{1}/{2}\;}}}+At=3.26+0.3=3.56\,\text{cm}$

Resultados para outros valores de tempo estão na tabela a seguir:

Os dados em questão estão plotados na figura a seguir; por conveniência, utilizamos uma escala bilogarítmica.

As curvas evidenciam que, para valores pequenos de tempo, as infiltrações horizontal e vertical são semelhantes; no entanto, para valores elevados de tempo, a infiltração vertical ultrapassa a infiltração horizontal substancialmente.

Referências

HANKS, R.J. (1992). Applied Soil Physics. 2ª edição. Berlin/Heidelberg: Springer.
SUBRAMANYA, K. (2008). Engineering Hydrology. 3ª edição. Nova Delhi: Tata-McGraw-Hill.