Ressaltos Hidráulicos

1. Introdução: Tipos de ressalto

Uma transição entre escoamento supercrítico (número de Froude Fr > 1) e subcrítico (Fr < 1) em um canal é denominada ressalto hidráulico. Como um ressalto típico é acompanhado de forte turbulência, engenheiros hidráulicos não raro utilizam ressaltos de modo deliberado em estruturas de dissipação de energia, como bacias de dissipação. No post de hoje, estudamos a modelagem de ressaltos em canais retangulares horizontais. Para tanto, seguimos a teoria contida em Hager (1992), Chanson (2004) e Sturm (2021).

Um ressalto hidráulico pode ser classificado de acordo com o número de Froude do escoamento imediatamente a montante do ressalto, como segue (Figura 1):

1.0 a 1.7: Ressalto ondulado. Não há frente de onda bem definida, e o escoamento muda de subcrítico para supercrítico ao longo de uma série de ondas estacionárias. Ressaltos ondulados envolvem pouca dissipação de energia e por isso têm pouco valor prático em engenharia hidráulica (Hager, 1992).

1.7 a 2.5: Ressalto fraco ou pré-ressalto. A superfície a jusante é razoavelmente lisa, a distribuição de velocidades é mais ou menos uniforme ao longo da profundidade e a dissipação de energia é menor que 20% do valor a montante.

2.5 a 4.5: Ressalto oscilante. O fluxo a montante adentra o ressalto como um jato que oscila entre o fundo e a superfície d’água sem período regular. O fluxo pulsante que resulta produz ondas superficiais irregulares que podem propagar-se por longas distâncias a jusante. A dissipação de energia varia entre 30 e 45% do valor a montante.

4.5 a 9.0: Ressalto estável. O ressalto é estável e livre de ondas superficiais. A dissipação de energia é eficaz, variando entre 45 e 70% do valor de entrada. Ressaltos utilizados em estruturas hidráulicas como bacias de dissipação geralmente classificam-se como ressaltos estáveis.

> 9.0: Ressalto forte. O ressalto produz dissipação excelente, chegando a 85%, mas o comportamento hidrodinâmico não é satisfatório. A velocidade de entrada é muito alta e a diferença entre as profundidades a montante e a jusante é grande. O jato formado é rápido e pode entranhar, de modo intermitente, massas de água que produzem ondas e formam uma superfície irregular na região a jusante.

Figura 1. Tipos de ressalto. (A figura não inclui o ressalto ondulado.)

2. Modelando um ressalto hidráulico em um canal retangular

Para modelar um ressalto, primeiramente escrevemos as equações de continuidade e momento para um canal retangular:

$\displaystyle q={{V}_{1}}{{y}_{1}}={{V}_{2}}{{y}_{2}}\,\,\,(1)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\rho gy_{1}^{2}-\frac{1}{2}\rho gy_{2}^{2}=\rho q\left( {{{V}_{2}}-{{V}_{1}}} \right)\,\,\,(2)$

onde q é a vazão por unidade de largura, y é a profundidade, $\displaystyle \rho$ é a densidade da água, g $\displaystyle \approx$ 9.81 m/s² e V é a velocidade; os subscritos 1 e 2 denotam condições logo a montante e a jusante do ressalto, respectivamente. Ajustando a equação (1), tem-se:

$\displaystyle {{V}_{2}}=\frac{{{{V}_{1}}{{y}_{1}}}}{{{{y}_{2}}}}\,\,\,(3)$

de modo que, substituindo em (2) e manipulando:

$\displaystyle \frac{1}{2}\rho gy_{1}^{2}-\frac{1}{2}\rho gy_{2}^{2}=\rho q\left( {{{V}_{2}}-{{V}_{1}}} \right)=\rho q{{V}_{2}}-\rho q{{V}_{1}}$

$\displaystyle \therefore \frac{1}{2}\rho gy_{1}^{2}-\frac{1}{2}\rho gy_{2}^{2}=\rho \times {{V}_{1}}{{y}_{1}}\times \frac{{{{V}_{1}}{{y}_{1}}}}{{{{y}_{2}}}}-\rho \times {{V}_{1}}{{y}_{1}}\times {{V}_{1}}$

$\displaystyle \therefore \frac{1}{2}\rho gy_{1}^{2}-\frac{1}{2}\rho gy_{2}^{2}=\rho V_{1}^{2}{{y}_{1}}\left( {\frac{{{{y}_{1}}}}{{{{y}_{2}}}}} \right)-\rho V_{1}^{2}{{y}_{1}}\,\,\,(4)$

Dividindo por $\displaystyle \rho$ g $\displaystyle y_{1}^{2}$ e utilizando a definição de número de Froude:

$\displaystyle \frac{1}{2}\frac{{\rho gy_{1}^{2}}}{{\rho gy_{1}^{2}}}-\frac{1}{2}\frac{{\rho gy_{2}^{2}}}{{\rho gy_{1}^{2}}}=\frac{{\rho V_{1}^{2}{{y}_{1}}}}{{\rho gy_{1}^{2}}}\left( {\frac{{{{y}_{1}}}}{{{{y}_{2}}}}} \right)-\frac{{\rho V_{1}^{2}{{y}_{1}}}}{{\rho gy_{1}^{2}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{1}{2}-\frac{1}{2}{{\left( {\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}} \right)}^{2}}=\text{Fr}_{1}^{2}\left( {\frac{{{{y}_{1}}}}{{{{y}_{2}}}}} \right)-\text{Fr}_{1}^{2}\,\,\,(5)$

Multiplicando os dois lados por y₂/y₁ e ajustando, obtemos um polinômio de grau 3 em termos de y₂/y₁:

$\displaystyle \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}} \right)}^{3}}-\left( {\frac{1}{2}+\text{Fr}_{1}^{2}} \right)\left( {\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}} \right)+\text{Fr}_{1}^{2}=0\,\,\,(6)$

Fatorando:

$\displaystyle \frac{1}{2}\left( {\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}-1} \right)\left[ {{{{\left( {\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}} \right)}}^{2}}+\left( {\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}} \right)-2\text{Fr}_{1}^{2}} \right]=0\,\,\,(7)$

Uma das soluções é óbvia:

$\displaystyle \left( {\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}-1} \right)=0\to {{y}_{2}}={{y}_{1}}\,\,\,(8)$

A outra é obtida resolvendo a seguinte equação do 2º grau:

$\displaystyle {{\left( {\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}} \right)}^{2}}+\left( {\frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}} \right)-2\text{Fr}_{1}^{2}=0\,\,\,(9)$

Evidentemente, a solução tem forma

$\displaystyle \frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\,\,\,(10)$

onde

$\displaystyle a=1\,\,\,;\,\,\,b=1\,\,\,;\,\,\,c=-2\text{Fr}_{1}^{2}\,\,\,(11)$

Portanto:

$\displaystyle \frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{-1\pm \sqrt{{{{1}^{2}}-4\times 1\times \left( {-2\text{Fr}_{1}^{2}} \right)}}}}{{2\times 1}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{-1\pm \sqrt{{1+8\text{Fr}_{1}^{2}}}}}{2}\,\,\,(12)$

Escrevendo de outra forma:

$\displaystyle \frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{1}{2}\left( {\sqrt{{1+8\text{Fr}_{1}^{2}}}-1} \right)\,\,\,(13)$

A equação acima fornece a profundidade conjugada y₂ após o ressalto em função da profundidade y₁ antes do ressalto e do número de Froude antes do ressalto. Se Fr₁ for bastante maior do que 1, obtemos uma relação ainda mais simples:

$\displaystyle \frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{1}{2}\left( {\sqrt{{1+8\text{Fr}_{1}^{2}}}-1} \right)\approx \frac{1}{2}\left( {\sqrt{{8\text{Fr}_{1}^{2}}}-1} \right)$

$\displaystyle \therefore \frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\approx \frac{1}{2}\left( {2\sqrt{2}\text{F}{{\text{r}}_{1}}-1} \right)$

$\displaystyle \therefore \frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}\approx \sqrt{2}\text{F}{{\text{r}}_{1}}-\frac{1}{2}\,\,\,(14)$

Isto é, a altura conjugada após o ressalto cresce de modo (aproximadamente) linearmente proporcional ao número de Froude Fr₁. Utilizando a relação V₂ = V₁y₁/y₂, podemos exprimir o número de Froude a jusante o ressalto, Fr₂, em termos do número de Froude a montante deste:

$\displaystyle {{V}_{2}}=\frac{{{{V}_{1}}{{y}_{1}}}}{{{{y}_{2}}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{{{V}_{2}}}}{{\sqrt{{g{{y}_{2}}}}}}=\frac{{{{V}_{1}}{{y}_{1}}}}{{{{y}_{2}}\sqrt{{g{{y}_{2}}}}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{{{V}_{2}}}}{{\sqrt{{g{{y}_{2}}}}}}=\frac{{{{V}_{1}}{{y}_{1}}}}{{{{y}_{2}}\sqrt{{g{{y}_{2}}}}}}\times \frac{{\sqrt{{{{y}_{1}}}}}}{{\sqrt{{{{y}_{1}}}}}}$

$\displaystyle \therefore \text{F}{{\text{r}}_{2}}=\frac{{{{V}_{1}}}}{{\sqrt{{g{{y}_{1}}}}}}\times {{\left( {\frac{{{{y}_{1}}}}{{{{y}_{2}}}}} \right)}^{{{3}/{2}\;}}}$

$\displaystyle \therefore \text{F}{{\text{r}}_{2}}=\text{F}{{\text{r}}_{1}}\times {{\left( {\frac{{{{y}_{1}}}}{{{{y}_{2}}}}} \right)}^{{{3}/{2}\;}}}\,\,\,(15)$

Por fim, usamos (13) para obter:

$\displaystyle \text{F}{{\text{r}}_{2}}=\text{F}{{\text{r}}_{1}}\times \frac{{{{2}^{{{3}/{2}\;}}}}}{{{{{\left( {\sqrt{{1+8\text{Fr}_{1}^{2}}}-1} \right)}}^{{{3}/{2}\;}}}}}\,\,\,(16)$

Outro parâmetro importante é a perda de carga do ressalto, que, no caso de um canal retangular, é dada pela equação

$\displaystyle \Delta E=\frac{{{{{\left( {{{y}_{2}}-{{y}_{1}}} \right)}}^{3}}}}{{4{{y}_{2}}{{y}_{1}}}}\,\,\,(17)$

Observe que o numerador do lado direito tem dimensões L³ (comprimento ao cubo) e o denominador tem dimensões L² (comprimento ao quadrado), de modo que a razão entre os dois termos ficará com dimensões L¹, como esperaríamos no caso de uma perda de carga. Se quisermos, podemos exprimir a perda de carga de modo adimensional:

$\displaystyle \frac{{\Delta E}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{{{{{\left( {\sqrt{{1+8\text{Fr}_{1}^{2}}}-3} \right)}}^{3}}}}{{16\left( {\sqrt{{1+8\text{Fr}_{1}^{2}}}-1} \right)}}\,\,\,(18)$

Multiplicando a vazão mássica de água pela perda de carga, podemos estimar a potência dissipada no ressalto:

$\displaystyle \Pi =\rho gQ\Delta E\,\,\,(19)$

onde $\displaystyle \rho$ é a densidade da água, g $\displaystyle \approx$ 9.81 m/s², Q é a vazão volumétrica e $\displaystyle \Delta$ E é dada por (17).

Uma última característica que merece discussão é o comprimento do ressalto, L_j. Infelizmente, este é difícil de mensurar, pois o ‘fim’ do ressalto não é bem definido e, ademais, existe certo grau de subjetividade em sua definição; alguns autores definem o fim do ressalto como o ponto onde a profundidade atinge seu maior valor, ao passo que outros utilizam o ponto onde a profundidade do escoamento adquire caráter aproximadamente uniforme. O comprimento do ressalto não é calculado de maneira analítica; em geral, recorremos a equações empíricas ou diagramas de dimensionamento. Uma fonte consagrada é o documento Hydraulic Design of Stilling Basins and Energy Dissipators, preparada pelo US Bureau of Reclamation nos anos 1950. Este reúne gráficos e tabelas a partir dos quais é possível estimar o comprimento de um ressalto típico. A publicação é gratuita e pode ser encontrada aqui.

Ao invés de estimar o comprimento do ressalto, podemos computar o comprimento do rolo, L_r, que é mais fácil de definir e, nas situações adequadas, pode substituir medidas de comprimento. O comprimento do rolo pode ser obtido a partir dos estudos de Hager et al. (1990), que propôs a seguinte equação para 2.5 < Fr₁ < 8:

$\displaystyle \frac{{{{L}_{r}}}}{{{{y}_{1}}}}=8\left( {\text{F}{{\text{r}}_{1}}-1.5} \right)\,\,\,(20)$

Para Fr₁ > 8, o comprimento do rolo depende da razão de aspecto y₁/b, onde b é a largura do canal retangular. Se y₁/b < 0.10, tem-se:

$\displaystyle \frac{{{{L}_{r}}}}{{{{y}_{1}}}}=160\tanh \left( {\frac{{\text{F}{{\text{r}}_{1}}}}{{20}}} \right)-12\,\,\,(21)$

Por outro lado, se y₁/b > 0.10:

$\displaystyle \frac{{{{L}_{r}}}}{{{{y}_{1}}}}=100\tanh \left( {\frac{{\text{F}{{\text{r}}_{1}}}}{{12.5}}} \right)-12\,\,\,(22)$

Exemplo

Um ressalto hidráulico ocorre em um canal retangular de 3 metros de largura. A profundidade a montante do ressalto é 2 m e a vazão é 75 m³/s. O canal é horizontal e liso. Calcule a profundidade conjugada, o número de Froude a jusante do ressalto, a perda de carga e a potência dissipada no ressalto.

Solução. Primeiramente, calculamos a velocidade a montante do ressalto:

$\displaystyle {{V}_{1}}=\frac{Q}{{b{{y}_{1}}}}=\frac{{75}}{{3\times 2}}=12.5\,\text{m/s}$

O número de Froude correspondente é:

$\displaystyle \text{F}{{\text{r}}_{1}}=\frac{{{{V}_{1}}}}{{\sqrt{{g{{y}_{1}}}}}}=\frac{{12.5}}{{\sqrt{{9.81\times 2}}}}=2.82$

Para calcular a profundidade conjugada, recorremos à equação (13):

$\displaystyle \frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{1}{2}\left( {\sqrt{{1+8\times {{{2.82}}^{2}}}}-1} \right)=3.52$

$\displaystyle \therefore {{y}_{2}}=3.52\times 2.0=7.04\,\text{m}$

A profundidade do escoamento a jusante do ressalto é aproximadamente igual a 7 metros.

Para calcular o número de Froude a jusante do ressalto, empregamos a equação (16):

$\displaystyle \text{F}{{\text{r}}_{2}}=2.82\times \frac{{{{2}^{{{3}/{2}\;}}}}}{{{{{\left( {\sqrt{{1+8\times {{{2.82}}^{2}}}}-1} \right)}}^{{{3}/{2}\;}}}}}=0.427$

A perda de carga é tal que (equação (17)):

$\displaystyle \Delta E=\frac{{{{{\left( {7.04-2.0} \right)}}^{3}}}}{{4\times 7.04\times 2.0}}=2.27\,\text{m}$

Tomando 1000 kg/m³ como a densidade da água, a potência dissipada no ressalto é (equação (19)):

$\displaystyle \Pi =1000\times 9.81\times 75\times 2.27=1.67\times {{10}^{6}}\,\text{W}$

$\displaystyle \therefore \Pi =1.67\,\text{MW}$

Observe que a potência dissipada é maior do que 1.6 megawatts, um valor relativamente grande, sobretudo se considerarmos que o canal tem uma seção retangular com apenas três metros de largura. Imagine a potência dissipada em uma estrutura hidráulica de médio porte, cuja seção, suposta retangular, pode ter largura muitas vezes maior.

Finalmente, calculamos o comprimento do rolo por meio da equação (20):

$\displaystyle \frac{{{{L}_{r}}}}{{{{y}_{1}}}}=8\left( {\text{F}{{\text{r}}_{1}}-1.5} \right)=8\times \left( {2.82-1.5} \right)=10.6$

$\displaystyle \therefore {{L}_{r}}=10.6\times 2.0=21.2\,\text{m}$

3. Ressaltos em camas rugosas

Em camas rugosas, a razão de profundidades conjugadas dada pela equação (13) produz estimativas exageradas de y₂/y₁. A razão y₂/y₁ é reduzida consistentemente para valores de rugosidade crescentes, e esse efeito é diretamente proporcional ao número de Froude Fr₁. Carollo e Ferro (2004) sugeriram que, ante camas rugosas, a razão de alturas conjugadas pode ser representada pela equação modificada

$\displaystyle \frac{{{{y}_{2}}}}{{{{y}_{1}}}}=\frac{1}{2}\left( {\sqrt{{1+8\left( {1-\beta } \right)\text{Fr}_{1}^{2}}}-1} \right)\,\,\,(23)$

onde $\displaystyle \beta$ é um coeficiente empírico que depende da rugosidade da cama; a princípio, Carollo e Ferro (2004) propuseram a seguinte relação para $\displaystyle \beta$ :

$\displaystyle \beta =0.42\frac{{{{k}_{s}}}}{{{{y}_{1}}}}\,\,\,(24)$

onde y₁ é a altura conjugada a montante do ressalto e k_s é a altura de rugosidade. A Figura 2 mostra a reta representada pela equação (24) e dados experimentais que Carollo e seu colega compilaram de Hughes e Flack (1984), em experimentos com camas ásperas, e Ead e Rajaratnam (2002), em experimentos com camas corrugadas de alumínio. Percebemos que há notável dispersão nos resultados; de fato, o coeficiente de determinação obtido por Carollo e seu colega foi R² = 0.44, um valor medíocre.

Figura 2. Dados experimentais e reta dada pela equação (24). De Carollo et al. (2007). Reproduzido mediante correspondência com os autores.

Cientes das limitações do estudo anterior, Carollo et al. (2007) realizaram uma série de ensaios em um canal retangular experimental com camas de vários valores de rugosidade. Os resultados estão plotados na Figura 3. A curva empírica que Carollo e seus colegas obtiveram é tal que:

$\displaystyle \beta =\frac{2}{\pi }\arctan \left[ {0.8{{{\left( {\frac{{{{k}_{s}}}}{{{{y}_{1}}}}} \right)}}^{{0.75}}}} \right]\,\,\,(25)$

O coeficiente de determinação, nesse caso, foi 0.71 – uma melhora de 61% em relação à equação (24). Sendo assim, ante problemas que envolvam ressaltos hidráulicos em camas ásperas, podemos determinar $\displaystyle \beta$ com (25), substituir na equação modificada (23) e computar a razão de profundidades como de praxe. É importante observar que os experimentos de Carollo foram realizados com número de Froude Fr₁ entre 1.9 e 9.9 e aspereza k_s não maior do que 3.20 cm; as equações podem não ser válidas em situações com variáveis que extrapolem tais valores.

Figura 3. Dados experimentais e curva dada pela equação (25). De Carollo et al. (2007). Reproduzido mediante correspondência com os autores.

Referências

Carollo, F.G. e Ferro, V. (2004). Determinazione delle altezze coniugate del risalto libero su fondo liscio e scabro. Rivista di Ingegneria Agraria, 35(4), 1 – 11.
Carollo, F.G., Ferro, V.F. e Pampalone, V. (2007). Hydraulic jumps on rough beds. Journal of Hydraulic Engineering, 133(9), 989 – 999.
CHANSON, H. (2004). The Hydraulics of Open Channel Flow: An Introduction. 2ª edição. Oxford: Butterworth-Heinemann.
Ead, S.A. e Rajaratnam, N. (2002). Hydraulic jump on corrugated beds. Journal of Hydraulic Engineering, 128(7), 656 – 663.
HAGER, W.H. (1992). Energy Dissipators and Hydraulic Jump. Berlim/Heidelberg: Springer.
Hager, W.H., Bremen, R. e Kawagoshi, N. (1990). Classical hydraulic jump; length of roller. Journal of Hydraulic Research, 28(5), 591 – 608.
Hughes, W.C. e Flack, J.E. (1984). Hydraulic jump properties over a rough bed. Journal of Hydraulic Engineering, 110(12), 1755 – 1771.
STURM, T.W. (2021). Open Channel Hydraulics. 3ª edição. Nova York: McGraw-Hill.