Escoamento Gradualmente Variado e o Método Passo Direto

1. Classificação qualitativa de escoamentos gradualmente variados

Um escoamento gradualmente variado é um escoamento estacionário, não-uniforme no qual a variação de profundidade na direção do movimento é suficientemente gradual para que a distribuição transversal de pressão em uma dada seção possa ser considerada hidrostática (Sturm, 2010; Akan, 2006). Isso permite que o escoamento seja modelado como um sistema unidimensional no qual a gravidade terrestre é a única fonte de gradientes transversais de pressão.

Além da hipótese simplificadora atinente a gradientes de pressão, devemos supor que o escoamento ocorre em um canal prismático. Finalmente, pressupõe-se que a declividade da linha de energia pode ser localmente modelada com ferramentas de escoamento uniforme, tais como a equação de Manning.

Em estudos de EGV, as declividades de condutos livres são classificadas como mild (fraca, suave), steep (forte, íngreme), critical (crítica), horizontal (horizontal) e adverse (adversa). Se para uma dada vazão a profundidade normal de um canal é maior que a profundidade crítica, o escoamento é classificado como mild. Se a profundidade normal é menor que a profundidade crítica, diz-se que o canal é steep. Se a profundidade normal é igual à profundidade crítica, o canal é considerado crítico. Se a declividade do fundo do canal for igual a zero, o canal é (obviamente) classificado como horizontal. Finalmente, se a declividade do canal aumenta no sentido do escoamento (ao invés de diminuir, como se espera de um escoamento típico), o canal é classificado como adverso. As cinco definições estão listadas na Tabela 1.

Tabela 1. Classificação de declividades em escoamentos gradualmente variados. (y_n = Profundidade normal; y_c = profundidade crítica; S₀ = declividade do fundo do canal).

Na análise qualitativa de escoamentos gradualmente variados, é usual definir um perfil de linha d’água com uma letra seguida de um número (por exemplo, M1, S2, A2, etc.). A letra refere-se ao tipo de EGV, de acordo com as iniciais listadas na Tabela 1. O número, por sua vez, concerne à posição relativa do perfil com relação ao nível de profundidade crítica (NPC) e ao nível de profundidade normal (NPN). Para as declividades mild e steep, o NPC e o NPN dividem a região sobrejacente ao fundo do canal em três ‘zonas’, como ilustra a Figura 1. A região acima de ambos os níveis é chamada zona 1; a região entre os dois níveis é chamada zona 2; a região entre o fundo do canal e o nível inferior é chamada zona 3. Se a declividade do canal for mild, o nível superior é o NPN e o nível inferior é o NPC; o inverso ocorre se a declividade do canal for steep, com o NPC por cima e o NPN por baixo. Finalente, observamos que existem apenas duas ‘zonas’ para canais adversos, horizontais e críticos uma vez que a profundidade normal destes não existe, é infinita, ou é igual à profundidade crítica, respectivamente.

Os perfis qualitativos dos 5 tipos de declividade estão ilustrados na Figura 2.

Figura 1. As três ‘zonas’ de EGVs em declividades mild e steep.

Figura 2. Perfis qualitativos de EGVs.

2. A equação diferencial do EGV

Passamos agora a um breve tratamento quantitativo do EGV. Conforme discutido em um post anterior, a energia específica de um escoamento de superfície livre é dada por

$\displaystyle E=y+\frac{{{{V}^{2}}}}{{2g}}\,\,\,(1)$

onde y é a profundidade de escoamento, V é a velocidade e g $\displaystyle \approx$ 9.81 m/s². Seja x a direção do escoamento; podemos diferenciar (1) em relação a x e escrever

$\displaystyle \frac{{dE}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{dx}}+\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{{V}^{2}}}}{{2g}}} \right)$

$\displaystyle \therefore \frac{{dE}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{dx}}+\frac{V}{g}\frac{{dV}}{{dx}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{dE}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{dx}}+\frac{V}{g}\frac{{dV}}{{dy}}\frac{{dy}}{{dx}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{dE}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{dx}}+\frac{V}{g}\frac{{dy}}{{dx}}\frac{{d\left( {{Q}/{A}\;} \right)}}{{dy}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{dE}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{dx}}+\frac{V}{g}\frac{{dy}}{{dx}}\frac{{Qd\left( {{1}/{A}\;} \right)}}{{dy}}\,\,\,(2)$

onde Q é a vazão e A é a área de seção transversal. Utilizando B = largura superior = dA/dy, D = diâmetro hidráulico = A/B e Fr = número de Froude = V/(gD)^1/2, podemos seguir manipulando (2) e obter

$\displaystyle \frac{{dE}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{dx}}-\frac{V}{g}\frac{{dy}}{{dx}}\frac{{Q\left( {{{dA}}/{{dy}}\;} \right)}}{{{{A}^{2}}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{dE}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{dx}}-\frac{V}{g}\frac{{dy}}{{dx}}\frac{{Q\times B}}{{{{A}^{2}}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{dE}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{dx}}\left( {1-\frac{{{{V}^{2}}}}{{gD}}} \right)$

$\displaystyle \therefore \frac{{dE}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{dx}}\left( {1-\text{F}{{\text{r}}^{2}}} \right)\,\,\,(3)$

Mas a derivada da energia específica em relação à direção do escoamento é

$\displaystyle \frac{{dE}}{{dx}}={{S}_{0}}-{{S}_{f}}\,\,\,(4)$

onde S₀ é a declividade do fundo do canal e S_f é a declividade da linha de energia. Substituindo em (3), vem

$\displaystyle {{S}_{0}}-{{S}_{f}}=\frac{{dy}}{{dx}}\left( {1-\text{F}{{\text{r}}^{2}}} \right)$

$\displaystyle \therefore \frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{{{S}_{0}}-{{S}_{f}}}}{{1-\text{F}{{\text{r}}^{2}}}}\,\,\,(5)$

Essa é a equação básica de escoamentos gradualmente variados. Recorrendo à definição de número de Froude, podemos reescrever (5) como

$\displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{{{S}_{0}}-{{S}_{f}}}}{{1-{{\left( {\alpha B{{Q}^{2}}} \right)}}/{{\left( {g{{A}^{3}}} \right)}}\;}}\,\,\,(6)$

Matematicamente, (5) é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem na qual x é a variável independente e y é a variável dependente. A equação descreve a taxa de variação da profundidade de escoamento y em função da distância x. Inspecionando o lado direito de (6), vemos que essa taxa é uma função das propriedades da seção do canal, da profundidade de escoamento e da vazão. Para uma dada seção, propriedades geométricas como área e largura superior são funções de y apenas. A declividade de fundo S₀, o n de Manning e a vazão de escoamento são conhecidos a priori. Consequentemente, o lado direito de (5) passa a ser uma função da profundidade de escoamento y, que por sua vez depende da distância x. Designando essa função como f(x,y), podemos reescrever (5) como

$\displaystyle \frac{{dy}}{{dx}}=f\left( {x,y} \right)\,\,\,(7)$

onde

$\displaystyle f\left( {x,y} \right)=\frac{{{{S}_{0}}-{{S}_{f}}}}{{1-{{\left( {\alpha B{{Q}^{2}}} \right)}}/{{\left( {g{{A}^{3}}} \right)}}\;}}\,\,\,(8)$

A equação (7) pode ser integrada para fornecer a profundidade de escoamento ao longo do traçado de um canal. Como f(x,y) é uma função não-linear, praticamente não existem soluções analíticas para (7); portanto, faz-se necessário o uso de métodos numéricos.

3. O método passo direto

No método mais simples de resolver a equação (5), tomamos uma dada profundidade y e computamos a distância x no qual essa profundidade ocorrerá. Esse é o princípio do método passo direto, o qual será discutido no restante desse post. Outra possibilidade seria proceder de maneira inversa e determinar a profundidade y em uma dada distância x; essa é a abordagem do método passo ‘padrão’, que é mais avançado e não será estudado aqui. Leitores interessados podem encontrar excelentes discussões de ambos os métodos em Akan (2006), Sturm (2010) e Chaudhry (2022).

O primeiro passo é escrever a equação de Bernoulli entre duas seções 1 e 2 do escoamento de canal,

$\displaystyle {{z}_{1}}+{{y}_{1}}+{{\alpha }_{1}}\frac{{V_{{^{1}}}^{2}}}{{2g}}={{z}_{2}}+{{y}_{2}}+{{\alpha }_{2}}\frac{{V_{2}^{2}}}{{2g}}+{{h}_{f}}\,\,\,(9)$

onde z é a elevação do fundo do canal em relação ao nível de referência (datum), y é a profundidade de escoamento, V é a velocidade, $\displaystyle \alpha$ é o fator de correção para energia cinética e h_f é a perda de carga entre as seções 1 e 2. A elevação z pode ser escrita em função da distância x na direção do escoamento:

$\displaystyle {{z}_{2}}={{z}_{1}}-{{S}_{0}}\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)\,\,\,(10)$

Lembre-se que S₀ é a declividade do fundo do canal.
Em seguida, escrevemos a energia específica para as seções 1 e 2:

$\displaystyle {{E}_{1}}={{y}_{1}}+{{\alpha }_{1}}\frac{{V_{1}^{2}}}{{2g}}\,\,\,(11)$

$\displaystyle {{E}_{2}}={{y}_{2}}+{{\alpha }_{2}}\frac{{V_{2}^{2}}}{{2g}}\,\,\,(12)$

Ademais, podemos exprimir a perda de carga h_f em termos da declividade média da linha de energia e da distância x,

$\displaystyle {{h}_{f}}=\frac{1}{2}\left( {{{S}_{{f,1}}}+{{S}_{{f,2}}}} \right)\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)\,\,\,(13)$

Substituindo (12) e (13) em (9),

$\displaystyle {{z}_{1}}+{{E}_{1}}={{z}_{2}}+{{E}_{2}}+\frac{1}{2}\left( {{{S}_{{f,1}}}+{{S}_{{f,2}}}} \right)\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)\,\,\,(14)$

Inserindo a expressão (10) e cancelando z₁,

$\displaystyle {{z}_{1}}+{{E}_{1}}={{z}_{1}}-{{S}_{0}}\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)+{{E}_{2}}+\frac{1}{2}\left( {{{S}_{{f,1}}}+{{S}_{{f,2}}}} \right)\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)$

$\displaystyle \therefore {{E}_{1}}=-{{S}_{0}}\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)+{{E}_{2}}+\frac{1}{2}\left( {{{S}_{{f,1}}}+{{S}_{{f,2}}}} \right)\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)$

$\displaystyle \therefore {{E}_{2}}-{{E}_{1}}={{S}_{0}}\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)-\frac{1}{2}\left( {{{S}_{{f,1}}}+{{S}_{{f,2}}}} \right)\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)\,\,\,(15)$

Resolvendo para x₂, obtemos

$\displaystyle {{x}_{2}}={{x}_{1}}+\frac{{{{E}_{2}}-{{E}_{1}}}}{{{{S}_{0}}-\frac{1}{2}\left( {{{S}_{{f,1}}}+{{S}_{{f,2}}}} \right)}}\,\,\,(16)$

Essa equação permite-nos localizar a seção 2. A localização assim obtida serve como valor inicial para o passo seguinte. Destarte, podemos estabelecer o perfil de linha d’água aumentando ou reduzindo as profundidades y e determinando onde (isto é, em qual valor de x) tais profundidades ocorrerão.

Exemplo

Um canal trapezoidal possui largura inferior igual a 12 m e inclinação lateral 2:1 (m = 2). O n de Manning da superfície do canal é 0.031 e a inclinação longitudinal é 0.001. Sabendo que o canal termina em uma queda d’água, computar o perfil da linha d’água para uma vazão de 50 m³/s.

O primeiro passo é computar as profundidades normal e crítica para o canal em questão. Para calcular y_n, substituimos os valores pertinentes na equação de Manning:

$\displaystyle \frac{{{{A}^{{{5}/{3}\;}}}}}{{{{P}^{{{2}/{3}\;}}}}}=\frac{{{{{\left[ {{{y}_{n}}\left( {b+m{{y}_{n}}} \right)} \right]}}^{{{5}/{3}\;}}}}}{{{{{\left[ {b+2{{y}_{n}}\sqrt{{1+{{m}^{2}}}}} \right]}}^{{{2}/{3}\;}}}}}=\frac{{nQ}}{{S_{0}^{{{1}/{2}\;}}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{{{{\left[ {{{y}_{n}}\times \left( {12+2{{y}_{n}}} \right)} \right]}}^{{{5}/{3}\;}}}}}{{{{{\left[ {12+2{{y}_{n}}\sqrt{{1+{{2}^{2}}}}} \right]}}^{{{2}/{3}\;}}}}}=\frac{{0.031\times 50}}{{{{{0.001}}^{{{1}/{2}\;}}}}}=49.02$

A equação não-linear acima pode ser resolvida com os comandos Solve ou FindRoot do Mathematica (outra opção é usar a calculadora virtual disponível em http://ponce.sdsu.edu/onlinechannel01.php):

A única solução real é y_n = 2.166 m. Em seguida, podemos determinar a profundidade crítica igualando o número de Froude a 1 e resolvendo para y_c:

$\displaystyle \text{Fr}=\frac{{Q{{B}^{{{1}/{2}\;}}}}}{{\sqrt{g}{{A}^{{{3}/{2}\;}}}}}=1$

$\displaystyle \therefore \frac{{{{A}^{{{3}/{2}\;}}}}}{{{{B}^{{{1}/{2}\;}}}}}=\frac{Q}{{\sqrt{g}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{{{{\left[ {{{y}_{c}}\left( {b+m{{y}_{c}}} \right)} \right]}}^{{{3}/{2}\;}}}}}{{{{{\left( {b+2m{{y}_{c}}} \right)}}^{{{1}/{2}\;}}}}}=\frac{Q}{{\sqrt{g}}}$

$\displaystyle \therefore \frac{{{{{\left[ {{{y}_{c}}\left( {12+2{{y}_{c}}} \right)} \right]}}^{{{3}/{2}\;}}}}}{{{{{\left( {12+2\times 2{{y}_{c}}} \right)}}^{{{1}/{2}\;}}}}}=\frac{{50}}{{\sqrt{{9.81}}}}=15.96$

Isto é, y_c = 1.132 m. Uma vez que y_n > y_c, temos um declive mild e o perfil que buscamos plotar é um perfil M2 cuja condição de contorno é a profundidade crítica na queda d’água. Os cálculos estão tabelados no arquivo .xlsx salvo em nossa pasta de Google Drive. A tabela a seguir sumariza os cálculos para os primeiros 10 valores de y selecionados por mim.

As 12 colunas são brevemente descritas a seguir.

Coluna 1, y. Essa coluna contém as profundidades de escoamento. Começamos com um valor próximo da profundidade crítica y_c $\displaystyle \approx$ 1.132 m e prosseguimos com pequenos incrementos nas linhas subsequentes. Adotamos incrementos menores quando a profundidade se aproxima do valor normal y_n $\displaystyle \approx$ 2.166 m.

Coluna 2, A. Essa coluna contém a área de seção transversal correspondente à profundidade da coluna 1.

Coluna 3, P. Essa coluna contém o perímetro de seção correspondente à profundidade da coluna 1.

Coluna 4, R. Essa coluna contém o raio hidráulico R, que é dado pela razão entre área (coluna 2) e perímetro (coluna 3).

Coluna 5, V. Essa coluna contém a velocidade de escoamento, que é dada pela razão entre a vazão Q e a área de seção transversal (coluna 2).

Coluna 6, S_f. Essa coluna contém a declividade da linha de energia, que pode ser obtida a partir da equação de Manning:

$\displaystyle {{S}_{f}}=\frac{{{{n}^{2}}{{V}^{2}}}}{{{{R}^{{1.33}}}}}$

Coluna 7, S_f,med. Essa coluna contém a declividade média da linha de energia. Esta pode ser obtida calculando a média aritmética da declividade S_f do passo presente e S_f do passo anterior:

$\displaystyle {{S}_{{f,\text{med}}}}=\frac{1}{2}\left( {{{S}_{{f,1}}}+{{S}_{{f,2}}}} \right)$

Podemos também utilizar a média geométrica ou a média harmônica, conforme mencionado em Chaudhry (2022).

Coluna 8, S₀ – S_f,med. Essa coluna contém a diferença entre a declividade do fundo do canal S₀ e a declividade média da linha de energia computada na coluna 7.

Coluna 9, E. Essa coluna contém a energia específica do escoamento, qual seja:

$\displaystyle E=y+\alpha \frac{{{{V}^{2}}}}{{2g}}$

onde y é a profundidade listada na coluna 1 e V é a velocidade calculada na coluna 5. Note que $\displaystyle \alpha$ = 1.

Coluna 10, ∆E. Essa coluna contém a variação de energia específica entre o passo presente e o passo anterior.

Coluna 11, ∆x. Essa coluna contém o incremento de distância horizontal entre o passo presente e o passo anterior. Este pode ser calculado pela razão (vide equação (16))

$\displaystyle \Delta x=\frac{{{{E}_{2}}-{{E}_{1}}}}{{{{S}_{0}}-{{S}_{{f,\text{med}}}}}}=\frac{{\Delta E}}{{{{S}_{0}}-{{S}_{{f,\text{med}}}}}}$

Note que ∆E é calculado na coluna 10 e S₀ – S_f,med é calculado na coluna 8.

Coluna 12, x₂. Essa coluna contém a distância onde a profundidade y listada na coluna 1 ocorrerá. Tal distância é obtida somando a distância x do passo anterior e o incremento de distância horizontal calculado na coluna 11.

O perfil obtido é mostrado a seguir.

Referências

AKAN, A.O. (2006). Open Channel Hydraulics. Oxford: Butterworth-Heinemann.
CHAUDHRY, M.H. (2022). Open-Channel Flow. 3ª edição. Berlin/Heidelberg: Springer.
STURM, T. (2010). Open Channel Hydraulics. 2ª edição. New York: McGraw-Hill.